Question

（2013•北京）已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
（Ⅰ）若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N^*，a_n+4=a_n），写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件以及d_n=A_n-B_n 的定义，直接求得d₁，d₂，d₃，d₄的值．
（Ⅱ）设d是非负整数，若{a_n}是公差为d的等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，从而证得d_n=A_n-B_n=-d，
（n=1，2，3，4…）．若d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．可得{a_n}是一个不减的数列，
求得d_n=A_n-B_n=-d，即 a_n+1-a_n=d，即{a_n}是公差为d的等差数列，命题得证．
（Ⅲ）若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），则{a_n}的项不能等于零，再用反证法得到{a_n}的项不能超过2，
从而证得命题．

解答：解：（Ⅰ）若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d₁=A₁-B₁=2-1=1，
d₂=A₂-B₂=2-1=1，d₃=A₃-B₃=4-1=3，d₄=A₄-B₄=4-1=3．
（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a_n}是公差为d的等差数列，则a_n=a₁+（n-1）d，
∴A_n=a_n=a₁+（n-1）d，B_n=a_n+1=a₁+nd，∴d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若 d_n=A_n-B_n=-d，（n=1，2，3，4…）．假设a_k是第一个使a_k-a_k-1＜0的项，
则d_k=A_k-B_k=a_k-1-B_k≥a_k-1-a_k＞0，这与d_n=-d≤0相矛盾，故{a_n}是一个不减的数列．
∴d_n=A_n-B_n=a_n-a_n+1=-d，即 a_n+1-a_n=d，故{a_n}是公差为d的等差数列．
（Ⅲ）证明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），首先，{a_n}的项不能等于零，否则d₁=2-0=2，矛盾．
而且还能得到{a_n}的项不能超过2，用反证法证明如下：
假设{a_n}的项中，有超过2的，设a_m是第一个大于2的项，由于{a_n}的项中一定有1，否则与d₁=1矛盾．
当n≥m时，a_n≥2，否则与d_m=1矛盾．
因此，存在最大的i在2到m-1之间，使a_i=1，此时，d_i=A_i-B_i=2-B_i≤2-2=0，矛盾．
综上，{a_n}的项不能超过2，故{a_n}的项只能是1或者2．
下面用反证法证明{a_n}的项中，有无穷多项为1．
若a_k是最后一个1，则a_k是后边的各项的最小值都等于2，故d_k=A_k-B_k=2-2=0，矛盾，
故{a_n}的项中，有无穷多项为1．
综上可得，{a_n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

点评：本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，
属于中档题．