Question

（2013•北京）已知函数f（x）=x²+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出即可；
（II）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可．

解答：解：（I）f′（x）=2x+xcosx，
∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
∴f′（a）=0，f（a）=b，联立

2a+acosa=0 a2+asina+cosa=b

，解得

a=0 b=1

，
故a=0，b=1．
（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．
于是当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）单调递增．
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，
故当b＞1时，曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点．故b的取值范围是（1，+∞）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键．