Question

（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：

x2

4

+y2=1上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于

3

．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；
（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足

3x2

4

=r²-1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．

解答：解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）
∴直线AC是BD的垂直平分线，可得AC方程为x=1
设A（1，t），得

12

4

+t2=1，解之得t=

3

2

（舍负）
∴A的坐标为（1，

3

2

），同理可得C的坐标为（1，-

3

2

）
因此，|AC|=

3

，可得菱形OABC的面积为S=

1

2

|AC|•|B0|=

3

；
（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，
设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x²+y²=r²
与椭圆W：

x2

4

+y2=1的公共点，解之得

3x2

4

=r²-1
设A、C两点横坐标分别为x₁、x₂，可得A、C两点的横坐标满足
x₁=x₂=

2 3

3

•

r2-1

，或x₁=

2 3

3

•

r2-1

且x₂=-

2 3

3

•

r2-1

，
①当x₁=x₂=

2 3

3

•

r2-1

时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；
②若x₁=

2 3

3

•

r2-1

且x₂=-

2 3

3

•

r2-1

，则x₁+x₂=0，
可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC
综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．

点评：本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．