Question

（2013•北京）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足

AP

=λ

AB

+μ

AC

（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为

3

．

Answer 1

分析：设P的坐标为（x，y），根据

AP

=λ

AB

+μ

AC

，结合向量的坐标运算解出

λ= 2 3 x- 1 3 y-1 μ=- 1 3 x+ 2 3 y+1

，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．

解答：解：设P的坐标为（x，y），则

AB

=（2，1），

AC

=（1，2），

AP

=（x-1，y+1），
∵

AP

=λ

AB

+μ

AC

，
∴

x-1=2λ+μ y+1=λ+2μ

，解之得

λ= 2 3 x- 1 3 y-1 μ=- 1 3 x+ 2 3 y+1

∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组

1≤ 2 3 x- 1 3 y-1≤2 0≤- 1 3 x+ 2 3 y+1≤1

作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）
∵|CF|=

(4-3)2+(2-0)2

=

5

，
点E（5，1）到直线CF：2x-y-6=0的距离为d=

|2×5-1-6|

5

=

3 5

5

∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=

5

×

3 5

5

=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3
故答案为：3

点评：本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．