Question

已知函数．
（Ⅰ）当k=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵k=1，
∴
∴，
∴…（2分）
∵f（1）=1-ln2，…（3分）
∴切线方程为，
即：…（5分）
（Ⅱ）=…（7分）
令 f'（x）=0，解得x=0，或…（8分）

令 ，解得，令 ，解得k＜1…（10分）
（1）当时，，
此时f（x）在区间（-1，0）上增，在区间上减，在区间上增，…（11分）
（2）当时，f'（x）≥0，此时f（x）在区间（-1，+∞）上增，…（12分）
（3）当时，，
此时f（x）在区间上增，
在区间上减，在区间（0，+∞）上增，…（13分）
（4）当k＞1时，，
此时f（x）在区间（-1，0）上减，在区间（0，+∞）上增，…（14分）
分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论，k=，＜k＜1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．