Question

（2007•武汉模拟）已知函数f(x)=

2

3

x3+2kx-1(k＜0)．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当实数k在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，然后解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）先利用导数研究函数的极值，然后要使函数y=f（x）与y=3只有一个公共点，须f（x）_极大＜3，或f（x）_极小＞3，解之即可求出k的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2k．
由f′(x)=0，x=±

-k

．（2分）
当x＜-

-k

或x＞

-k

时，f'（x）＞0
当-

-k

＜x＜

-k

时，f'（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-

-k

），（

-k

，+∞）
递减区间为(-

-k

，

k

)．（6分）
（2）由（1）知，当x=-

-k

时，f（x）取得极大值f(-

-k

)=

4

3

(

-k

)3-1，
当x=

-k

时，f（x）取得极小值f(

-k

)=-

4

3

(

-k

)3-1（8分）
依题意，要使函数y=f（x）与y=3只有一个公共点，须f（x）_极大＜3，或f（x）_极小＞3．（10分）
由

4 3 ( -k )3＜k＜0

，解得-

3	9

＜k＜0
而

- 4 3 ( -k )3-1＞3

无解．
所以，所求实数k的取值范围是(-

3	9

，0)．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及研究函数的极值和函数图象的交点问题，属于中档题．