Question

（2007•武汉模拟）如图，直线l：y=

4

3

（x-2）和双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 （a＞0，b＞0）交于A、B两点，|AB|=

12

11

，又l关于直线l₁：y=

b

a

x对称的直线l₂与x轴平行．
（1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）先设双曲线一、三象限渐近线l₁：

x

a

-

y

b

=0 的倾 斜角为α，根据l和l₂关于直线l₁对称，又AB：y=

4

3

（x-2），得出tan2α=

4

3

  利用二倍角公式求得tanα，从而建立关于a，c的相等关系，最后求得双曲线C的离心率；
（2）设所求双曲线的方程，将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（1）设双曲线一、三象限渐近线l₁：

x

a

-

y

b

=0 的倾 斜角为α
∵l和l₂关于直线l₁对称，记它们的交点为P．而l₂与x轴平行，
记l₂与y轴交点为Q 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α（锐角）又AB：y=

4

3

（x-2），
故tan2α=

4

3

  则 

2tanα

1-tan 2α

=

4

3

，求得tanα=

1

2

，tanα=-2（舍）
∴

b

a

=

1

2

，e²=

c 2

a 2

=1+（

b

a

）²=

5

4

，因此双曲线C的离心率 

5

2

．
（2）∵

b

a

=

1

2

，故设所求双曲线方程 

x 2

4k 2

-

x 2

k 2

=1 
将 y=

4

3

（x-2），代入 x²-4y²=4k²，
消去y得：

55

36

x²-

64

9

x+

64

9

+k²=0  设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
|AB|=

1+k 2

|x₁-x₂|=

1+k 2

•

(x 1+x 2) 2-4x 1x 2

=

12

11

，
化简得到：

4 64-55k 2

11

=

12

11

，求得k²=1．
故所求双曲线C的方程为：

x 2

4

-y²=1

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．