Question

（2007•武汉模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形，
（1）将四边形ABCD面积S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及此时θ角的值．

Answer 1

分析：（1）四边形ABCD的面积分为两三角形面积之和来求，三角形ABD的面积由AB，AD及sinA的值，利用三角形的面积公式可表示出，三角形BCD为等边三角形，其面积为

3

4

BD²，接着由AB，AD及cosA的值，利用余弦定理表示出BD²，可表示出三角形BCD的面积，两者相加去括号后，利用两角和与差的正弦函数公式化简可表示出四边形ABCD的面积，并求出此时θ的范围；
（2）由（1）表示出的S关系式，根据θ的范围，求出θ-

π

3

的范围，再由正弦函数的图象与性质可得出面积S的最大值，以及此时θ的度数．

解答：解：（1）△ABD的面积S=

1

2

AB•AD•sinA=

1

2

×1×1×sinθ=

1

2

sinθ，
∵△BDC是正三角形，则△BDC面积=

3

4

BD²，
由△ABD及余弦定理可知：BD²=1²+1²+2•1•1•cosθ=2-2cosθ，
于是四边形ABCD面积S=

1

2

sinθ+

3

4

（2-2cosθ），
整理得：S=

3

2

+sin（θ-

π

3

）其中0＜θ＜π；
（2）由（1）得到的S=

3

2

+sin（θ-

π

3

），
∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，
则当θ-

π

3

=

π

2

时，S取得最大值1+

3

2

，此时θ=

π

3

+

π

2

=

5π

6

．

点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，等边三角形的性质，两角和与差的正弦函数公式以及正弦函数的定义域和值域，综合性比较强，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．