Question

已知圆C过点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
（1）求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）若∠MAN=45°，求圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设圆C的圆心为C（x，y），圆的半径 ，由圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求
（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圆C的圆心为（x，y），则有x²=2ay（结合可求x，r，从而可求圆C的方程
解答：解：（1）设圆C的圆心为C（x，y），
依题意圆的半径   …（2分）
∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．
∴|y|²+a²=r²
故  x²+（y-a）²=|y|²+a²…（4分）
∴x²=2ay
∴圆C的圆心的轨迹方程为x²=2ay…（6分）
（2）∵∠MAN=45°（3），∴∠MCN=90°（4）…（9分）
令圆C的圆心为（x，y），则有x²=2ay（y≥0），…（10分）
又∵…（11分）
∴…（12分）
∴…（13分）
∴圆C的方程为  …（14分）
点评：本题主要考查了利用圆的性质求解点的轨迹方程及圆的方程的求解，解题的关键是熟练 掌握圆的基本性质