Question

10．已知x，y都是正数．
（1）若3x+2y=12，求xy的最大值；
（2）若x+2y=3，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于3x+2y=12，再根据xy=$\frac{1}{6}$•3x•2y，利用基本不等式求得xy的最大值．
（2）由x+2y=3，得到1=$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}$，故$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}$），利用基本不等式求得最小值．

解答 解：（1）∵3x+2y=12，∴xy=$\frac{1}{6}$•3x•2y≤$\frac{1}{6}$×（$\frac{3x+2y}{2}$）²=6，当且仅当3x=2y=6时，等号成立．
∴当且仅当3x=3时，xy取得最大值．
（2）∵x+2y=3，
∴1=$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}$，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}$）=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{x}{3y}$+$\frac{2y}{3x}$≥1+2$\sqrt{\frac{3}{3y}•\frac{2y}{3x}}$=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，当且仅当$\frac{x}{3y}$=$\frac{2y}{3x}$，即x=3$\sqrt{2}$-3，y=3-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴最小值为$1+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．