Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b-a取得最小值时，a+b的值为（　　）

• A、-1
• B、-4
• C、-7
• D、-3

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[-1，0]上有一个零点，即可得出结论．

解答： 解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，
∴f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰，
x＞-1时，f′（x）＞0，f′（-1）=1＞0，x＜-1时，f′（x）＞0，
因此f（x）是R上的增函数，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-

1

2

-

1

3

）+…+（-

1

2010

-

1

2011

）＜0
∴函数f（x）在[-1，0]上有一个零点；
∴函数f（x+3）在[-4，-3]上有一个零点，
∴a=-4，b=-3
∴a+b=-7．
故选：C

点评：此题是难题．考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．