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    设函数．f（x）=x（
    1
    2
    ）x+
    1
    x+1
    ，A0为坐标原点，An为函数y=f（x0I图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量
    an
    n
    k=1
    Ak-1Ak
    ，向量
    i
    =（1，0），设θn为向量
    an
    与向量
    I
    的夹角，则θ1=
     
    ，满足
    n
    k=1
    tanθk＜
    5
    3
    的最大整数n是
     
    ．
    分析：先确定点An=（n，f（n）），再确定
    an
    ，然后明确夹角θn，进一步表示出tanθn，最后可由列举法求出满足要求的最大整数n．
    解答：解：由题意知An=（n，f（n）），
    an
    =
    A0An
    ，
    则θn为直线A0An的倾斜角，所以tanθn=
    f(n)
    n
    =(
    1
    2
    )    n    +
    1
    n(n+1)
    ，
    所以tanθ1=
    1
    2
    +
    1
    2
    =1，θ1=
    π
    4

    tanθ2=
    1
    4
    +
    1
    6
    =
    5
    12
    ，tanθ3=
    1
    8
    +
    1
    12
    =
    5
    24
    ，tanθ4=
    1
    16
    +
    1
    20
    =
    9
    80
    ．
    则有 1+
    5
    12
    +
    5
    24
    =
    13
    8
    ＜
    5
    3
    ＜
    139
    80
    =
    13
    8
    +
    9
    80
    ，
    故满足要求的最大整数n是3．
    故答案为：
    π
    4
    ；3．
    点评：本题考查数列与向量的综合应用，解答关键是向量的夹角公式的运算及正切函数的定义．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
    （1）求证：f（0）=1且当x＜0时，f（x）＞1
    （2）求证：f（x）在R上是减函数；
    （3）设集合A=（x，y）|f（-x2+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
    且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数y=f（x）与函数g（x）的图象关于x=3对称，则g（x）的表达式为（　　）
    A、g(x)=f(
    3
    2
    -x)
    B、g（x）=f（3-x）
    C、g（x）=f（-3-x）
    D、g（x）=f（6-x）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
    （1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
    （2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
    （3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
    ①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
    ②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数都成立，则称函数f（x） 为“倍约束函数”．给出下列函数，其中是“倍约束函数”的为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
    函数h(x)=
    f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
    f(x)，当x∈M且x∉N
    g(x)，当x∉M且x∈N

    （1）若函数f(x)=
    1
    x+1
    ，g(x)=x2+2x+2，x∈R    ，求函数h（x）的取值集合；
    （2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
    1
    |P1P2|2
    +
    1
    |P1P3|2
    +…+
    1
    |P1Pn|2
    ＜
    2
    5
    ；
    （3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

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