Question

已知函数f（x）=|3^x-1|，g（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且函数h(x)=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

（1）当2≤a＜9时，设函数h（x）=g（x）所对应的自变量取值区间长度为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求d的表达式并求d的最大值；
（2）是否存在这样的a，使得对任意x≥2，都有h（x）=g（x），若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本问中借鉴上问（1）的解题思想，由具体到一般，方法依然是针对a的范围条件，作差比较出f₁（x）与f₂（x）的大小，在2≤a＜9时，自变量x取哪些值时f（x）=f₂（x），进而确定求出f（x）的解析式，对参数的讨论要结合具体的数值，从直观到抽象采取分类策略．
（2）本问利用（1）的结论容易求解，需要注意的是等价转化思想的应用，分类讨论思想重新在本问中的体现．

解答：解：（1）h(x)=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

，
若h（x）=g（x），则g（x）≤f（x），即|a•3^x-9|≤|3^x-1|，
当0＜x＜log3

9

a

时，由于a•3^x-9＜0，3^x-1＞0，
∴不等式|a•3^x-9|≤|3^x-1|，即为9-a•3^x≤3^x-1，解得x≥log3

10

a+1

，
故x的取值范围为log3

10

a+1

≤x＜log3

9

a

；
当x≥log3

9

a

时，由于a•3^x-9＞0，3^x-1＞0，
∴不等式|a•3^x-9|≤|3^x-1|，即为a•3^x-9≤3^x-1，解得x≤log3

8

a-1

，
故x的取值范围为log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

．
综上可得，x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]时，h（x）=g（x），
故d=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]，
∵d=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]在[2，9）上为单调递减函数，
∴当a=2时，d取得最大值为d=log3

12

5

；
（2）当x∈[2，+∞）时，h（x）=g（x）恒成立，等价于|a•3^x-9|≤|3^x-1|，对x∈[2，+∞）恒成立，（*）
①当a≥1时，log3

9

a

≤2，
∴当x≥2时，a•3^x-9≥a•3log3

9

a

-9=0，则（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，
又当x≥2时，1+

8

3x

＞1，
∴a≤1，
故a=1适合题意；
②当0＜a＜1时，log3

9

a

＞2，
（i）当x＞log3

9

a

时，（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，又1+

8

3x

＞1，
∴a≤1，
故0＜a＜1符合题意；
（ii）当x=log3

9

a

时，（*）可化为0≤3^x-1=

9

a

-1，
∴a∈R，
故0＜a＜1符合题意；
（iii）当2≤x＜log3

9

a

时，（*）可化为9-a•3^x≤3^x-1，即a≥

10

3x

-1，而

10

3x

-1≤

1

9

，
∴a≥

1

9

，
故

1

9

≤a＜1符合题意．
由（i）（ii）（iii）可得，

1

9

≤a＜1符合题意．
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是

1

9

≤a≤1．

点评：本题考查分段函数的有关概念，函数求值的问题；对函数的导数的概念亦有所考查，含参数的数学问题的讨论，注重对分类讨论思想，数形结合思想的考查，考查了对近年来高考真题中出现的有关恒成立问题，存在性问题的求解策略，对函数知识的综合性解题能力有很高的要求，属于压轴题的题目难度．本题的求解策略是细读题意，精确分析采取有难到易，各点击破的思想，同时注意解题思想的应用．属于难题．