Question

【题目】已知数列中，，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的值为1与2．

【解析】

（Ⅰ）由条件可得，，再用累加法求解即可；

（Ⅱ）利用分类讨论法求和或错位相减法求解．

（Ⅱ）（解法一）由题意得，数列的前项和为，令，其前项和为，由此讨论可求出答案．

（解法二）令，利用错位相减法求得其前项和，从而求出，记，由此讨论即可求出答案．

解：（Ⅰ），

，即，

由累加法，当时，

，

代入得，

，

（），

也满足上式，

∴；

（Ⅱ）解法一：，

数列的前项和为，

令，

其前项和为，

则有，

∴，

当时，，则有，

综上，不等式成立的的值为1与2．

解法二：令，设其前项和为，

∴，

∴，

两式相减得，

，

，

则有，

记，

当时，；

当时，；

当且为奇数时，，，则；

当且为偶数时，，，则；

综上所述，不等式成立的的值为1与2．