Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点，直线与曲线相交于点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为：，曲线的直角坐标方程为：；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线的普通方程，根据，结合二倍角的余弦公式，可得曲线的直角坐标方程

（Ⅱ）写出直线参数方程的标准形式，然后联立曲线的方程，可得关于参数的一元二次方程，根据的几何意义，可得结果.

（Ⅰ）由（为参数），所以

则直线的普通方程为：

由，所以

又，所以

则曲线的直角坐标方程为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

直线参数方程标准形式为：（为参数）

将该方程代入曲线的直角坐标方程

化简可得：

设点所对应的参数分别为

所以，则

所以

则