Question

【题目】如图在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，.

（1）证明：.

（2）求平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）过P作PO⊥AB与O.连OC，OD，根据已知条件计算可得，根据平面与平面垂直的性质定理可得，再根据直线与平面垂直的判定和性质可证结论

（2）以O为坐标原点.OD，OB，OP为x，y，轴建立空间直角坐标洗，利用空间向量可求得平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值.

（1）证明：过P作PO⊥AB与O.连OC，OD，如图：

因为底面ABCD是等腰梯形，，

所以，因为，，

∴，所以，

所以，

∴，

所以，，

所以，，

所以，所以.

因为平面底面ABCD，交线为AB，

∴底面ABCD，所以.

又，平面POC，

故平面POC，所以；

（2）由（1）知，以O为坐标原点.OD，OB，OP为x，y，轴建立空间直角坐标系，如图所示

则，，，

所以，，

设平面PCD的法向量,

故,即，

令，则，，所以，

平面PAB的法向量取），

所以

故平面PCD与PAB夹角的余弦值为.