Question

【题目】如图，在直角中，，，，、分别是、上一点，且满足平分，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面.

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）在直角中，连接交于点，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，则在三棱锥中，可得出，，可推导出平面，进而可得出；

（2）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得其正弦值.

（1）在直角中，连接交于点，如下图所示：

，，且，，

平分，，则有，，

在三棱锥中，，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，在三棱锥中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

，、、两两垂直，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、，

，，

设平面的一个法向量为，

由，得，可得，

令，则，，可得.

易知平面的一个法向量为，所以，，

设二面角的平面角为，则.

因此，二面角的正弦值为.