Question

【题目】如图，四棱锥中，，，，，侧面为等边三角形．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中点，先证明平面，再根据线面垂直的性质可得；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角即可.

（Ⅰ）证明：如图1，取的中点，连接，，，

由已知得四边形为矩形，因此.

又∵侧面为等边三角形，∴.

∵，∴平面，

∵平面，∴.

（Ⅱ）如图2，由（Ⅰ）知，过作平面，

则，，两两垂直，

分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，

∵，且在等边三角形中，易知，

∴在中，由余弦定理得,

∴，

又，∴，

∴．∴，.

设平面的法向量，

由，得，

取，则．

设直线与平面所成角为，

∵，则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.