(14分)已知函数,其中常数。
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)当时,是否存在实数,使得直线恰为曲线的切线?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)设定义在上的函数的图象在点处的切线方程为,当时,若在内恒成立,则称为函数的“类对称点”。当,试问是否存在“类对称点”?若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
(1)。(2)不存在;(3)存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标。
【解析】
试题分析:(1),其中,…………………. ………. ……………2
令得或.……………………………
当及时,当时,……………3
的单调递增区间为。……………………….4
(2)当时,,其中,
令,…………………………5
方程无解,…………………………………………………6
不存在实数使得直线恰为曲线的切线。………7
(3)由(2)知,当时,函数在其图象上一点处的切线方程为………………..8
设则 …………………………………….9
若在上单调递减,时,,此时………………………………….
若在上单调递减,时,,此时……………………………………
在上不存在“类对称点”………………..11
若在上是增函数,
当时,,当时,,故
即此时点是的“类对称点”
综上,存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标。…….14
考点:导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性。
点评:①本题主要考查函数的单调增区间的求法,以及探索满足条件的实数的求法,探索函数是否存在“类对称点”.解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用.②利用导数求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域。
科目:高中数学 来源: 题型:
已知函数,其中常数ω>0.
(1)令ω=1,判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像.对任意a∈R,求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省莆田一中高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2010年江苏省泰兴市高三上学期第一次检测文科数学试题 题型:解答题
(16分)已知函数(其中常数),是奇函数。
(1)求的表达式;
(2)讨论的单调性,并求在区间上的最大值和最小值。
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