Question

已知双曲线,F为其右焦点，A（4，1）为平面上一点，点P为双曲线上一点，求|PA|+|PF|的最小值（如下图）.

Answer 1

解析：题中出现了明显的双曲线第二定义特征——双曲线上的点、焦点，可利用第二定义，将P到焦点的距离转化为P到相应准线的距离.

解：由双曲线的第二定义可知，其中d为P到右准线l：x=的距离，e=.

∴|PF|=ed=.

∴|PA|+|PF|=|PA|+·.

∴|PA|+|PF|=|PA|+d,则求|PA|+|PF|的最小值问题转化为：在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l：x=的距离之和最小，如上图所示，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线AB，交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PF|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值为.

点评：这道题利用双曲线的第二定义把点到点的距离问题转化为点到线的距离问题，这种利用定义的转化的解题方法经常用到.本题还利用了数形结合思想，充分利用了平面几何的结论解决问题.