Question

已知|x-4|+|3-x|＜a。
（1）若不等式的解集为空集，求a的范围；
（2）若不等式有解，求a的范围。

Answer 1

解：（1）①x≥4 时（x-4）+（x-3）<a
f（x）=2x-7在x≥4上单调递增
x=4时取最小值1。
若要求不等式无解，
则a小于或等于该最小值即可。
即a≤1；
②当4>x>3时（4-x）+（x-3）<a
则1<a
若要求不等式无解，则a≤ 1。
否则不等式的解集为全集
③x≤3时（4-x）+（3-x）<a
则7-2x<a
在x≤3区间，不等式左端的函数单调递减。
在x=3时取最小值1。
若要求不等式无解，则a≤1
综合以上a≤1。
（2）若不等式有解，则a的范围为原范围的补集，即a>1。