Question

已知O是△ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交对边于A′、B′、C′，则

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

=1，运用类比猜想，对于空间中四面体A-BCD有

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=1

．

Answer 1

分析：先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明．

解答：解：猜想：若O四面体ABCD内任意点，AO，BO，CO，DO并延长交对面于A′，B′，C′，D′，则

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=1
用“体积法”证明如下：

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=

VO-BCD

VA-BCD

+

VO-CAD

VA-BCD

+

VO-ABD

VC-ABD

+

VO-ABC

VD-ABC

=

VABCD

VABCD

=1
故答案为：

OA′

AA′

+

OB′

BB′

+

OC′

CC′

+

OD′

DD′

=1

点评：本题考查类比推理，是一个基础题，这种题目的解题的关键是要根据所给的定理类比出可能的定理，后面再进行证明．