Question

已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

](λ∈R且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．内心

B．垂心

C．重心

D．外心

Answer 1

分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，取AB的中点D，对

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

](λ∈R，进行化简，得到

OP

=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心．

解答：解：取AB的中点D，则 2

OD

=

OA

+

OB

，
∵

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

](λ∈R，
∴

OP

=

1

3

[（1-λ）（2

OD

）+（1+2λ）

OC

]
=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，
而

2(1-λ)

3

+

1+2λ

3

=1，
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选C．

点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思与转化思想．属于基础题．