Question

已知A，B，C是平面内互异的三点，O为平面上任意一点，

OC

=x

OA

+y

OB

，求证：
（1）若A，B，C三点共线，则x+y=1；
（2）若x+y=1，则A，B，C三点共线．

Answer 1

分析：（1）将三点共线转化为以这三点确定的两个向量共线；利用向量共线的充要条件得到等式；利用向量的运算法则将用O为起点的向量表示；利用平面向量的基本定理得证．
（2）通过代入消元将已知等式中的y消去，利用向量的运算法则化简等式；利用向量共线的充要条件得证．

解答：证明：（1）∵A，B，C三点共线
∴

AB

∥

AC

∴存在λ有

AC

=λ

A

B
即

OC

-

OA

=λ(

OB

-

OA

)
∴

OC

=(1-λ)

OA

+λ

OB

∵

OC

=x

OA

+y

OB

∴

x=1-λ y=λ

∴x+y=1
（2）∵

OC

=x

OA

+y

OB

，x+y=1
∴

OC

=x

OA

+(1-x)

OB

，

OC

-

OB

=x(

OA

-

OB

)
即

BC

=x

BA

∴

BA

∥

BC

故A，B，C 共线．

点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．