Question

已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]（λ∈R且λ≠0），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．内心

B．垂心

C．重心

D．AB边的中点

Answer 1

分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]进行化简，得到

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，但λ≠0则点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．

解答：解：取AB的中点D，则 2

OD

=

OA

+

OB

∵

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]
∴

OP

=

1

3

[(1-λ)(2

OD

)+(1+2λ)

OC

]
=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，
而

2(1-λ)

3

+

1+2λ

3

=1，
∴P、C、D三点共线，
∵λ≠0
∴点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．
故选D．

点评：此题是个中档题．考查向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，和三角形的五心问题，综合性强，体现了数形结合的思想．