Question

已知椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点F₁（-5，0）、F₂（5，0），且它们的离心率e都可以使方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，求椭圆和双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：设出椭圆方程及双曲线的方程，利用二次方程有两个相等的实根，令其判别式为0，求出两个根，据焦点坐标求出椭圆和双曲线方程．

解答：解：由题意可设椭圆的方程为

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1(a1＞b1＞0)
双曲线的方程为

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1(a2＞0，b2＞0)
且c₁=c₂=5
设椭圆的离心率为 e₁，0＜e₁＜1，
双曲线的离心率为e₂，e₂＞1
又e₁，e₂使得方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，
所以△=（1-2e）²-4×（2e-1）=0
解得e=

1

2

，或e=

5

2

，
即e1=

1

2

，e2=

5

2

，
所以可得a1=10，b1=3

5

a2=2，b2=

21

所以所求椭圆方程为

x2

100

+

y2

75

=1，
双曲线的方程为

x2

4

-

y2

21

=1

点评：解决椭圆与双曲线问题要注意椭圆的离心率的范围为（0，1）；双曲线离心率的范围为（1，+∝）．