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有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元,它们与投入的资金的关系是Q1=
1
5
x,Q2=
3
5
x
,今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少?
分析:设甲、乙两种商品的资金投入分别为x万元,(3-x)万元时,利润函数Q=Q1+Q2=
1
5
x+
3
5
3-x
,用换元法:令
3-x
=t,则Q可表示为t的二次函数,从而求得Q的最大值,即获最大利润,进而得出甲、乙两种商品的资金投入.
解答:解:设甲、乙两种商品的资金投入分别为x万元,(3-x)万元,
则利润为:Q=Q1+Q2=
1
5
x+
3
5
3-x
(0≤x≤3),
3-x
=t,则x=3-t2(t≥0),
∴Q=
1
5
(3-t2)+
3
5
t=-
1
5
(t-
3
2
2+
21
20

∵t=
3
2
∈[0,+∞),
所以,当t=
3
2
时,即x=
3
4
时,Q有最大值
21
20
,此时3-x=
9
4
,此时获最大利润,
所以,甲、乙两种商品的资金投入应分别为
3
4
万元和
9
4
万元.
点评:本题考查了二次函数模型的应用,利用换元法把含有根号的函数转化为二次函数时,要注意自变量取值范围的变化.
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