Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，点P是AD₁上的动点．
（1）试求四棱锥P-A₁B₁C₁D₁体积的最大值；
（2）试判断不论点P在AD₁上的任何位置，是否都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由棱锥的体积公式，由底面A₁B₁C₁D₁的面积固定，则四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的高取最大值时，四棱锥P-A₁B₁C₁D₁体积取最大值，结合P是AD₁上的动点，易得当P与A重合时满足条件，代入棱锥的体积公式，即可求出答案．
（2）由题意知，B₁A₁⊥A₁D₁，B₁A₁⊥A₁A，由线面垂直的判定定理，可得B₁A₁⊥平面AA₁D₁，进而由面面垂直判定得到平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁．

解答：解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体∴侧面AA₁D₁⊥底面A₁B₁C₁D₁
∴四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的高为点P到平面A₁B₁C₁D₁的距离
当点P与点A重合时，四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的高取得最大值，这时四棱锥P-A₁B₁C₁D₁体积最大，
在 Rt△AA₁D₁中∵∠AD₁A₁=60°
∴AA1=AD1sin60°=2

3

，A₁D₁=AD₁cos60°=2，
∴（VP-A1B1C1D1）_max=

1

3

•SA1B1C1D1•AA₁=

8

3

3

（2）不论点P在AD₁上的任何位置，都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁．证明如下：
由题意知，B₁A₁⊥A₁D₁，B₁A₁⊥A₁A，
又∵AA₁∩A₁D₁=A₁
∴B₁A₁⊥平面AA₁D₁
又A₁B₁?平面B₁PA₁
∴平面B₁PA₁⊥平面AA₁D₁．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，其中（1）的关键是判断出当P与A重合时满足四棱锥P-A₁B₁C₁D₁体积取最大值，（2）的关键是证得B₁A₁⊥平面AA₁D₁．