Question

设f(x)=λ1(

a

3

x3+

b-1

2

x2+x)+λ2x•3x(a，b∈R，a＞0)
（1）当λ₁=1，λ₂=0时，设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
①如果x₁＜1＜x₂＜2，求证：f'（-1）＞3；
②如果a≥2，且x₂-x₁=2且x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=f'（x）+2（x-x₂）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
（2）当λ₁=0，λ₂=1时，
①求函数y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
②对于任意的实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证3^aa+3^bb+3^cc≥9．

Answer 1

分析：（1）①当λ₁=1，λ₂=0时，由x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，且x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得

f′(1)＜0 f′(2)＞0

．由f′（-1）=a-b+2结合a，b范围得证．②由①设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），得g(x)=a(x-x2)(x-x1+

2

a

)=-a(x2-x)(x-x1+

2

a

)，
用基本不等式得g(x)≥-a•(

(x2-x)+(x-x1+ 2 a )

2

)2=-(a+

1

a

+2)求得最值．
（2）①由λ₁=0，λ₂=1，f（x）=3^xx，可得y=3^xx-3（ln3+1）x．y'=3^x（ln3）•x+3^x-3（ln3+1），易知y'是单调增函数，
且x=1是它的一个零点，当x=1时，求得最小值．②由①知3^xx≥3（ln3+1）x-3ln3，当x分别取a、b、c时有：得到三个不等式，再由不等式的基本性质得证．

解答：解：（Ⅰ）①证明：当λ₁=1，λ₂=0时，f'（x）=ax²+（b-1）x+1，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，
由x₁＜1＜x₂＜2且a＞0得

f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

a+b＜0 4a+2b-1＞0

．
所以f′（-1）=a-b+2=-3（a+b）+（4a+2b-1）+3＞3．（3分）
②设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以g(x)=a(x-x2)(x-x1+

2

a

)=-a(x2-x)(x-x1+

2

a

)，
易知x₂-x＞0，x-x1+

2

a

＞0，
所以g(x)≥-a•(

(x2-x)+(x-x1+ 2 a )

2

)2=-(a+

1

a

+2)
当且仅当x1-x=x-x1+

2

a

时，
即x=

x1+x2

2

-

1

a

=x1+1-

1

a

时取等号
所以h(a)=-(a+

1

a

+2)（a≥2）．
易知当a=2时，h（a）有最大值，
即h(a)max=h(2)=-

9

2

．（5分）

（Ⅱ）①当λ₁=0，λ₂=1时，f（x）=3^xx，
所以y=3^xx-3（ln3+1）x．y'=3^x（ln3）•x+3^x-3（ln3+1），容易知道y'是单调增函数，
且x=1是它的一个零点，即也是唯一的零点．
当x＞1时，y'＞0；当x＜1时，y'＜0，
故当x=1时，
函数y=f（x）-3（ln3+1）x有最小值为-3ln3．（4分）
②由①知3^xx≥3（ln3+1）x-3ln3，
当x分别取a、b、c时有：3^aa≥3（ln3+1）a-3ln3；3^bb≥3（ln3+1）b-3ln3；3^cc≥3（ln3+1）c-3ln3
三式相加即得．（3分）

点评：本题主要考查函数与不等式转化与构造以及导数求函数最值问题．