Question

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆右准线与x轴交于E（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直线x+2y-10=0上有且仅有一点P使．求以OM为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设椭圆左、右焦点分别为F₁，F₂，过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A，B两个不同的点（B在E，A之间）若有，求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出a，b，c分别为椭圆的半长轴，半短轴及半焦距，根据椭圆的准线方程公式列出a与c的方程记作①，根据离心率列出a与c的方程记作②，联立①②即可求出a与c的值，根据a²=b²+c²即可求出b的值，由椭圆的中心在原点，利用a与b的值写出椭圆的标准方程即可．
（II）利用圆和直线相切．利用点到直线的距离公式可可求得圆心坐标和圆的半径，即可得出以OM为直径的圆的方程；
（III）由向量平行的关系∥，可求得，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）从而得出，又A，B在椭圆上，代入椭圆方程，即可解出A，B的坐标，从而得到直线方程．
解答：解：（i）设a为半长轴，b为半短轴，c为焦距的一半，
根据题意可知：=2即a²=2c①，=即a²=2c²②，
把②代入①解得：c=1，
把c=1代入②解得a=，
所以b=1，
又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为（4分）
（II）即以OM为直径的圆和直线x+2y-10=0相切．可求得圆心为，半径为，
所以，解得t=4（负舍）则以OM为直径的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5（9分）
（III）由题：∥，则有相似比可求得
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴（x₁-2，y₁）=3（x₂-2，y₂），∴解得
又A，B在椭圆上，带入椭圆方程，有解得
∴求得直线方程为（15分）
点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的运算，直线与圆锥曲线的关系．关键是正确利用公式．