Question

3．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为$-\frac{1}{4}$，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（x₀，y₀），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率；
（2）直线OP的方程为y=kx，设点P的坐标为（x₀，y₀），代入椭圆方程，再由|AP|=|OA|，运用两点的距离公式，化简整理，再由二次不等式的解法，即可得证．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x₀，y₀）．
由题意，有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1①
由A（-a，0），B（a，0），得k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，k_BP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$．
由k_AP•k_BP=$-\frac{1}{4}$，可得x₀²=a²-4y₀²，
代入①并整理得（a²-4b²）y₀²=0．
由于y₀≠0，故a²=4b²，于是e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
所以椭圆的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，
设点P的坐标为（x₀，y₀）．
由条件得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{b}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，
消去y₀并整理得x₀²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{k}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}}$②
由|AP|=|OA|，A（-a，0）及y₀=kx₀，得（x₀+a）²+k²x₀²=a²．
整理得（1+k²）x₀²+2ax₀=0．而x₀≠0，于是x₀=-$\frac{2a}{1+{k}^{2}}$，
代入②，整理得（1+k²）²=4k²（$\frac{a}{b}$）²+4．
由a＞b＞0，故（1+k²）²＞4k²+4，即k²+1＞4，
因此k²＞3，所以|k|＞$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质：离心率的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，以及二次不等式的解法，属于中档题．