Question

12．已知过原点斜率为±2两条直线与函数y=x³+x在点A（1，2）处的切线围成的封闭图形的区域为P，那么封闭区域内任意一点为B（x，y）．则$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$的最大值（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 求出切线方程，作出平面区域P，令z=$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$=x+2y，则问题转化为线性规划的最优解问题．

解答 解：y′=3x²+1，k=y′（1）=4，∴函数y=x³+x在点A（1，2）处的切线为y-2=4（x-1），即4x-y-2=0，
作出平面区域如图所示：
令z=$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$=x+2y，则y=-$\frac{1}{2}x$+$\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}x$+$\frac{z}{2}$经过点M时截距最大，即z取得最大值，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{4x-y-2=0}\end{array}\right.$得M（1，2）．
∴z=$\stackrel{→}{OA}•\stackrel{→}{OB}$的最大值为1+2×2=5．
故选A．

点评 本题考查了导数的几何意义，向量的数量积运算，线性规划，作出平面区域转化为线性规划问题时解题关键．