Question

设x，y满足条件

x-y+2≥0 3x-y-6≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

3

a

+

2

b

的最小值为（　　）

• A．

  25

  6

• B．

  8

  3

• C．

  11

  3

• D．4

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
∴4a+6b=12，即2a+3b=6，
∴

3

a

+

2

b

=（

3

a

+

2

b

）×

2a+3b

6

=

1

6

（12+

9b

a

+

4a

b

）≥4
当且仅当

9b

a

=

4a

b

时，

3

a

+

2

b

的最小值为4
故选D．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，确定a，b的关系是关键．