Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M、N，直线l₂与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ的面积S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的方程，利用，，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用，确定l₁⊥l₂． 再分类讨论，分别计算四边形MPNQ的面积，利用基本不等式，可确定四边形形MPNQ的面积S的最小值．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为（a＞b＞0），
则由题意知c=1，
又∵
∴（a+c）（a-c）=1=a²-c²
∴a²=2
∴b²=a²-c²=1，
故椭圆的方程为：；
（Ⅱ）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q）．
则由题意：
整理得：（x_N-x_M）（x_P-x_Q）+（y_N-y_M）（y_P-y_Q）=0．
所以l₁⊥l₂． 
①若直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，不妨设l₂的斜率不存在，则可得l₂⊥x轴，
∴|MN|=2，|PQ|=，
故四边形MPNQ的面积S=．
②若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁的方程：y=k（x-1）（k≠0），则
代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=．
∴|MN|===
同理可求得，|PQ|=．
故四边形MPNQ的面积：S==≥
当且仅当k=±1时，取“=”．
综上，四边形形MPNQ的面积S的最小值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确表示四边形的面积是关键．