Question

10．三角形PAB周长是2$\sqrt{10}$+6，A（-3，0），B（3，0），P是动点，Q为圆x²+（y-6）²=2上的点．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求P，Q两点间的最大距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，可得动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（除去与x轴的交点），a=$\sqrt{10}$，c=3，即可求出动点P的轨迹方程；
（2）求出P与圆心的距离的最大值，即可求P，Q两点间的距离的最大值．

解答 解：（1）∵三角形PAB周长是2$\sqrt{10}$+6，A（-3，0），B（3，0），
∴PA+PB=2$\sqrt{10}$＞AB，
∴动点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（除去与x轴的交点），a=$\sqrt{10}$，c=3，
∴b=1，
∴动点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{10}+{y}^{2}$=1（y≠0）；
（2）设P（x，y），则P与圆心的距离为$\sqrt{{x}^{2}+（y-6）^{2}}$=$\sqrt{-9（y+\frac{2}{3}）^{2}+52}$
∵-1≤y≤1，
∴y=-$\frac{2}{3}$时，P与圆心的距离的最大值为2$\sqrt{13}$，
∴P，Q两点间的距离的最大值为2$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．