Question

如图：在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面BCD；
（2）若F是AB的中点，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的长．

Answer 1

分析：对于（1），根据条件，只需证明平面BCD有一条直线垂直于平面ABE，而等腰三角形ACD、BCD有共同底边CD，E为中点，因此容易证明CD与平面ABE垂直，从而问题得到解决；
对于（2）由BC=AD，可以判定三角形ABE为等腰三角形，由AB=8，AE=10，根据勾股定理可以解决EF的长度问题．

解答：解：（1）证明：因为AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点，
所以BE⊥CD，且AE⊥CD，又AE∩BE=E，
所以CD⊥平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCD（5分）
（2）因为E是CD的中点，所以CE=ED，由（1）知BE⊥CD，
且AE⊥CD，所以BC²=BE²+CE²=BE²+ED²，AD²=AE²+ED²，
因为BC=AD，所以AE=BE（10分）
又因为F是AB的中点，所以AF=FB=4，且EF⊥AB，
所以EF=

AE2-AF2

=

102-42

=2

21

（12分）

点评：本题主要考查面面垂直的判定，其思路是：将面面垂直转化为线面垂直进行证明，在一个平面内寻找另一个平面的垂线，这种降维转化的思想在解决线面关系、面面关系时非常重要．