Question

【题目】如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）可证平面，从而得到，又可证，从而得到平面.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和面的法向量后计算它们的夹角的余弦值，再结合二面角为钝角以及同角的三角函数基本关系式可求二面角的正切值.

（1）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，

∵矩形菱形，平面， ∴平面.

∵平面，∴，

∵菱形中，

，，，故，

∴由勾股定理得，∴，

∵，∴平面.

（2）由（1）可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由已知，，，，

，，

设平面的法向量，

则，取得.

设平面的法向量，则

，取得

设二面角的平面角为，

则且，所以，

由为钝角，所以二面角的正切值为.