Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数在点处的切线的斜率为，证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求得函数的定义域以及导数，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）由已知条件求得，可得，由得出，令，利用导数求得函数在上的最小值，由此可证得结论.

（1）函数的定义域为，

.

，令得或.

①当时，即当时，

令，得；令，得或.

此时，函数单调递减区间为，单调递增区间为和；

②当时，即当时，对任意的，，

此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

③当时，即当时.

令，得；令，得或.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.

综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；

当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为和；

（2）由已知条件得，解得，

所以，，

要证即证，

令，其中，

则，令，其中，

当时，，

所以，函数在区间上单调递增，

，当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

所以，当时，函数取得最小值，即.

因此，对任意的，.