Question

7．设函数f（x）=|x|+|x-a|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将f（x）写成分段函数的形式，再由分类讨论得到不等式组，解得即可得到所求解集；
（（Ⅱ）不等式f（x）＞1对任意x∈R恒成立?f（x）_min＞1，由绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1-2x，x＜0}\\{1，0≤x≤1}\\{2x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
则f（x）≤3?$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{1-2x≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{1≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x-1≤3}\end{array}\right.$，
?-1≤x＜0或0≤x≤1或1＜x≤2?-1≤x≤2，
所以，所求不等式的解集为[-1，2]；
另解：当a=1时，f（x）=|x|+|x-1|，
由绝对值的几何意义知，-1，2对应点到0，1对应点的距离之和为3，
则不等式f（x）≤3的解集为[-1，2]．
（Ⅱ）不等式f（x）＞1对任意x∈R恒成立?f（x）_min＞1，
∵|x|+|x-a|≥|x-（x-a）|=|a|，
∴|a|＞1，即a＞1或a＜-1，
所以实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．