Question

17．函数y=cosx•sin2x的最小值为-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 首先利用倍角公式展开，化余弦为正弦，然后换元，再利用导数求得最值．

解答 解：y=cosx•sin2x=2sinx•cos²x=2sinx（1-sin²x）=-2sin³x+2sinx．
令t=sinx（-1≤t≤1）．
∴原函数化为g（t）=-2t³+2t（-1≤t≤1）．
g′（t）=-6t²+2=-2（3t²-1），
∴当t∈[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$]时，g′（t）＜0，
当t∈（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$]上为减函数，在（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）上为增函数，
∵g（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，g（1）=0．
∴g（t）的最小值为-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，即y=cosx•sin2x的最小值为-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
故答案为：-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查三角函数的最值，正确换元是解答该题的关键，训练了利用导数求解函数的最值，属中档题．