Question

8．已知函数f（x）=log₂（2^-x-1）．
（1）求f（x）的定义域，值域；
（2）若f（x）＜0，求x的值；
（3）判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）由2^-x-1＞0，解得：x＜0，从而求出函数的定义域、值域问题；（2）根据对数函数的性质得到不等式，解出即可；（3）通过求导判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）由2^-x-1＞0，解得：x＜0，
∴函数f（x）的定义域是（-∞，0），值域是（-∞，+∞）；
（2）若f（x）＜0，即log₂（2^-x-1）＜0，
∴0＜2^-x-1＜1，解得：-1＜x＜0，
（3）∵f′（x）=$\frac{{{（2}^{-x}-1）}^{′}}{{（2}^{-x}-1）lna}$=-$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{-x}-1}$＜0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．

点评 本题考查了函数的定义域、值域、函数的单调性问题；考查对数函数的性质，是一道基础题．