Question

13．设函数f（x）=|ax+1|+|x-a|（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出f（x）的最小值g（a）；
（2）对任意a∈（0，2]，存在实数x₀，使得f（x₀）≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用零点分段法，将函数化为分段函数的形式，结合二次函数的图象和性质，可得函数的单调性，即最小值；
（2）对任意a∈（0，2]，存在实数x₀，使得f（x₀）≤m，则函数f（x）的最小值≤m，结合（1）中结论，求出f（x）的最小值g（a）的最大值，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由ax+1=0得：x=-$\frac{1}{a}$，由x-a=0得，x=a，
①当x＜-$\frac{1}{a}$时，f（x）=-ax-1-x+a=-（a+1）x+a-1，此时函数为减函数，
此时f（x）＞f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$+a，
②当-$\frac{1}{a}$≤x≤a时，f（x）=ax+1-x+a=（a-1）x+a+1，
若0＜a＜1，此时函数为减函数，f（x）≥f（a）=a²+1，
若a=1，此时f（x）=2恒成立；
若a＞1，此时函数为增函数，f（x）≥f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$+a，
③当x＜-$\frac{1}{a}$时，f（x）=ax+1+x-a=（a+1）x-a+1，此时函数为增函数，
此时f（x）＞f（a）=a²+1，
综上所述：若0＜a＜1，函数在（-∞，a]上为减函数，在[a，+∞）上为增函数；
若a=1，函数在（-∞，-$\frac{1}{a}$]上为减函数，在[a，+∞）上为增函数；
若a＞1，函数在（-∞，-$\frac{1}{a}$]上为减函数，在[-$\frac{1}{a}$，+∞）上为增函数；
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+1，0＜a≤1\\ \frac{1}{a}+a，a＞1\end{array}\right.$
证明：（2）由（1）得：f（x）的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+1，0＜a≤1\\ \frac{1}{a}+a，1＜a≤2\end{array}\right.$，
若对任意a∈（0，2]，存在实数x₀，使得f（x₀）≤m，
则g（a）≤m恒成立，
由g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+1，0＜a≤1\\ \frac{1}{a}+a，1＜a≤2\end{array}\right.$得，当a=2时，g（a）取最大值$\frac{5}{2}$，
∴m≥$\frac{5}{2}$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，对勾函数的图象和性质，函数的最值，难度中档．