Question

3．计算：T_n=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{21}$+$\frac{1}{45}$+…+$\frac{1}{4{n}^{2}+4n-3}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）．

Answer 1

分析 将通项化为$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$），运用裂项相消求和，计算即可得到所求．

解答 解：$\frac{1}{4{n}^{2}+4n-3}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
即有原式=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{11}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）．
故答案为：$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．