Question

18．已知函数f（x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在定义域上单调递减．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上单调递减．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{-x}-1}{（\frac{1}{2}）^{-x}+1}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{x}}{1+（\frac{1}{2}）^{x}}$=-$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$=-f（x）．
则f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）在定义域上单调递减．
f（x）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}-1}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$=$\frac{{（\frac{1}{2}）}^{x}+1-2}{{（\frac{1}{2}）}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{x}+1}$，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2[（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}-（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}]}{[（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}+1][（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}+1]}$，
∵x₁＜x₂，
∴$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$＞$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$，即$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$-$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在定义域上单调递减．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．