Question

4．若当x＞1时不等式$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$＞m²+1恒成立，则实数m的取值范围是（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 由题意可得（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min＞m²+1恒成立，运用换元法和基本不等式，求得最小值，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：不等式$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$＞m²+1恒成立，即为
（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min＞m²+1恒成立，
令x-1=t（t＞0），则x=t+1，
即有$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$+2=6，
当且仅当t=2，即x=3，取得最小值6，
则m²+1＜6，解得-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$．
故答案为：（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查函数的最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．