Question

5．已知函数f（x）=-x²+2ax-a+1在区间[0，1]上的最大值为3，求实数a的值．

Answer 1

分析 先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．

解答 解：函数f（x）=-x²+2ax-a+1图象的对称轴为直线x=a，
当a＜0时，[0，1]是f（x）的递减区间，f（x）_max=f（0）=1-a=3，
∴a=-2；
当a＞1时，[0，1]是f（x）的递增区间，f（x）_max=f（1）=a=3，
∴a=3；
当0≤a≤1时，f（x）_max=f（a）=a²-a+1=3，
解得a=-1（舍去），或a=2（舍去），
所以a=-2或a=3．

点评 此题是个中档题．本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论