Question

20．函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x＞0时，恒有f（x）＞1．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）若f（3）=4，且不等式f（ma²+ma）＜2对任意实数a恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁），由已知可判断其符号；
（2）令m=n=1可求得f（2），进而可得f（1）=2，利用单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，结合二次函数的图象性质，得到答案．

解答 证明：（1）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1，
又f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．
解：（2）∵m，n∈R，不妨设m=n=1，
∴f（1+1）=f（1）+f（1）-1，即f（2）=2f（1）-1，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=2f（1）-1+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2，
∴f（ma²+ma）＜2=f（1），
∵f（x）在R上为增函数，
∴ma²+ma＜1，即ma²+ma-1＜0恒成立，
当m=0时，显然满足条件，
当m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={m}^{2}+4m＜0\end{array}\right.$，即m∈（-4，0），
∴综上所述，m∈（-4，0]

点评 本题考查抽象函数单调性的判断、抽象不等式的求解，考查转化思想，抽象函数的单调性常用定义解决，抽象不等式的求解往往转化为具体不等式处理．