Question

已知函数f(x)＝log_a(3＋x)，g(x)＝log_a(3－x)(a＞0且a≠1)．

(1)当a＝2时，求函数y＝f(x)＋g(x)的定义域、值域；

(2)求使f(x)－g(x)＞0成立的x取值范围．

Answer 1

 [解]　(1)当a＝2时，有y＝log₂(3＋x)＋log₂(3－x)＝log₂(－x²＋9)，则由3＋x>0且3－x＞0，解得－3＜x＜3，故函数y的定义域为(－3,3)；又因为0＜－x²＋9≤9且函数y＝log₂t(令t＝－x²＋9)为增函数，所以log₂(－x²＋9)≤log₂9＝2log₂3即y≤2log₂3，故函数y的值域为(－∞，2log₂3]．

(2)由f(x)－g(x)＞0，得f(x)＞g(x)，即log_a(3＋x)＞log_a(3－x)，

当a＞1时，满足解得0＜x＜3；

当0＜a＜1时，满足解得－3＜x＜0

故所求x取值范围为：当a＞1时，解集为{x|0＜x＜3}，当0＜a＜1时，解集为{x|－3＜x＜0}．