Question

设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．
（1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率；
（2）求弦AB的长超过圆半径的概率．

Answer 1

分析：（1）本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解．
（2）根据已知中A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，我们求出B点位置所有基本事件对应的弧长，及满足条件AB长大于半径的基本事件对应的弧长，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．

解答：解：（1）设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，
以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如右图所示，
则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，
故P（M）=

劣弧CD的长

圆周长

=

1

3

  
（2）在圆上其他位置任取一点B，圆半径为1，
则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2π，
其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为 

2

3

•2π•1，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=

2 3 •2π•1

2π•1

=

2

3

．

点评：本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．