Question

已知向量

a

=(

3

sinwx，coswx)， 

b

=(coswx，coswx)，（其中w＞0）．设f(x)=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求w；
（2）若0＜x≤

π

3

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据题意并且结合三角的有关公式可得：f（x）=sin(2wx+

π

6

)+

1

2

，再结合周期的计算公式可得答案．
（2）由0＜x≤

π

3

可得

π

6

＜2x+

π

6

≤

5

6

π，再利用正弦函数的性质得到答案．

解答：解：（1）因为f(x)=

a

•

b

，并且

a

=(

3

sinwx，coswx)，

b

=(coswx，coswx)，
所以f(x)=

3

sinwx•coswx+cos2wx=

3

2

sin2wx+

1

2

(1+cos2wx)=sin(2wx+

π

6

)+

1

2

所以结合周期的计算公式可得：T=π=

2π

2w

，即w=1．
（2）由（1）得：f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∵0＜x≤

π

3

∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5

6

π
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴f（x）的值域为[1，

3

2

]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量的数量积运算与两角和的正弦公式、二倍角公式，以及三角函数的周期公式与三角函数的有关性质，此题综合性较强属于中档题型，此类型的题也是高考命题的热点之一．